поперечні хвилі

  1. Основні поняття хвиль Розглядаючи закони поширення механічних хвиль, відволікаються від молекулярної...
  2. Швидкість поширення поперечних хвиль
  3. рівняння хвилі
  4. Приклади завдань з рішенням

Основні поняття хвиль

Розглядаючи закони поширення механічних хвиль, відволікаються від молекулярної будови речовини, розглядаючи його як суцільну середу, яка безперервно змінюється в просторі. Говорячи про частку середовища, ми будемо говорити про малий елементі обсягу речовини, розміри якого значно більше, ніж відстані між молекулами, при цьому частки середовища будемо вважати точками.

У першому наближенні всі речовини можна вважати пружними (виняток - розріджені гази), оскільки внутрішні сили, що з'являються при малих деформаціях, пропорційні величинам деформації.

Якщо в якийсь - то точці пружного середовища порушити коливання її часток, через їх взаємодії воно буде поширюватися в речовині від однієї частинки до іншої з деякою швидкістю. Процес поширення коливань у просторі називають хвилею. При цьому частинки середовища хвилею не переносяться, а кожна частка робить коливання біля свого положення рівноваги.

Залежно від напрямку коливань частинки речовини по відношенню до напрямку поширення хвилі, хвилі ділять на поздовжні і поперечні. Якщо частинки здійснюють коливання в напрямку поширення хвилі, то таку хвилю називаютьпоздовжньої.

Визначення поперечних хвиль

визначення

Поперечною хвилею називають таку хвилю, в якій коливання частинок середовища відбуваються в напрямках перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.

Механічні хвилі можуть бути поперечними тільки в середовищі, в якій можливі деформації зсуву (середовище має пружністю форми). Отже, в рідинах і газах механічних поперечних хвиль не спостерігають. Поперечні механічні хвилі виникають в твердих тілах. Прикладом таких хвиль є хвилі, які розповсюджуються в струнах.

Поперечна хвиля має поляризацію (лінійну, кругову або еліптичну), вектор амплітуди цієї хвилі має певною орієнтацією в поперечній площині.

Швидкість поширення поперечних хвиль

Швидкість ($ v $) поширення поперечних хвиль у нескінченній ізотропному середовищі можна знайти за допомогою формули:

\ [V = \ sqrt {\ frac {G} {\ rho} \ left (1 \ right),} \]

де $ G $ - модуль зсуву середовища; $ \ Rho $ - щільність речовини.

Пружні властивості і щільність твердого тіла залежить від хімічного складу речовини, і вона несуттєво змінюється при зміні тиску і температури. Тому в більшості випадків швидкість поширення хвилі можна вважати постійною.

Швидкість у формулі (1) називається фазовою швидкістю.

рівняння хвилі

Основне завдання при вивченні хвиль - це встановлення закону зміни в часі і просторі фізичних величин, які однозначно характеризують рух хвилі. При розгляді пружних хвиль такою величиною служить, наприклад, зміщення ($ s $) частинок середовища від їх положень рівноваги. Функція $ s $ в залежності від координат простору і часу називається рівнянням хвилі.

Найпростішим видом хвиль є гармонійні хвилі. В таких хвилях параметри $ s $ для всіх частинок середовища, які охоплені хвилею, здійснюють гармонійні коливання з однаковими частотами. Для реалізації даного хвильового процесу необхідно, щоб джерело гармонійних хвиль здійснював незгасаючі гармонійні коливання.

Нехай одномірна поперечна хвиля поширюється по осі X, від джерела хвилі, що знаходиться на початку координат - точки О. Прикладом такої хвилі є, хвиля, яка поширюється в пружною нескінченної струні, один з кінців якої змушують робити коливальні рухи. Якщо коливання в точці О відбуваються за законом:

\ [S_0 = A_0 {\ cos \ left (\ omega t + \ varphi \ right) \ left (2 \ right), \} \]

де $ A_0 $ - амплітуда; $ \ Omega $ - циклічна частота коливань; $ \ Varphi $ - початкова фаза. Тоді коливання в деякій довільній точці А на осі X відстають по фазі від $ s_0 $ і відбуваються за законом:

\ [S = A {\ cos \ left [\ omega \ left (t-t_1 \ right) + \ varphi \ right] \} \ left (3 \ right), \]

де $ t_1 = \ frac {x} {v} $ - час, який необхідно для того, щоб хвиля пройшла відстань від джерела хвилі до розглянутої точки А ($ ОА = x $). $ A $ - амплітуда хвилі в точці А. Якщо середовище в якій поширюється хвиля не поглинає енергію, то амплітуди коливань і амплітуда хвилі збігаються:

\ [A_0 = A. \]

Рівняння одновимірної хвилі (3) часто записують в іншій формі, вводячи поняття хвильового числа ($ k $):

\ [K = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} = \ frac {\ omega} {v} \ left (4 \ right), \]

де $ \ lambda $ - довжина хвилі.

\ [S = A {\ cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \} \ left (5 \ right). \]

Рівняння (3) і (5) еквівалентні і називаються рівнянням одновимірної хвилі.

Величина $ \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] $ називається фазою хвилі в довільній точці А. З порівняння рівняння (2) і рівняння (5), випливає, що коливання в точці А відстають від коливань в джерелі (точці О) по фазі на величину $ kx $. Величина $ \ left (kx + \ varphi \ right) $ - початкова фаза коливань в точці А.

Відстань між двома найближчими точками середовища, в яких різниця початкових фаз коливань дорівнює $ 2 \ pi $, називають довжиною хвилі ($ \ lambda $).

Приклади завдань з рішенням

приклад 1

Завдання: Поперечна одномірна хвиля має період T і амплітуду коливань A. Поширюється вона зі швидкістю $ v $. Яке зміщення частинки середовища, яка знаходиться на відстані $ x_1 $ від джерела хвиль в момент часу $ t_1 $ від початку коливань? Зобразіть розглянуту хвилю розповсюджується вздовж осі X для фіксованого моменту часу ($ t_1 $).

Рішення: Запишемо рівняння одномірної хвилі, яке дасть нас зміщення частинки середовища:

\ [S = A {\ cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \} \ left (1.1 \ right). \]

Будемо вважати що в початковий момент часу початкова фаза коливань дорівнює нулю ($ \ varphi $ = 0). Циклічну частоту знайдемо, знаючи період коливань точок в хвилі:

\ [\ Omega = \ frac {2 \ pi} {T} \ left (1.2 \ right). \]

Хвильове число одно:

\ [K = \ frac {\ omega} {v} = \ frac {2 \ pi} {Tv} \ left (1.3 \ right). \]

Перепишемо рівняння хвилі (1.1) з огляду на (1.2) і (1.3):

\ [S = A {\ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {T} t- \ frac {2 \ pi} {Tv} x \ right] \} \ \ left (1.4 \ right). \]

Для того щоб знайти зміщення заданої в умові завдання точки, яку визначає параметр ($ x_1 $) в момент часу $ t_1 $, підставимо ці параметри в рівняння (1.4) отримуємо:

\ [S_1 = A {\ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {T} t_1- \ frac {2 \ pi} {Tv} x_1 \ right]. \} \]

\} \]

Відповідь: $ s_1 = A {\ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {T} t_1- \ frac {2 \ pi} {Tv} x_1 \ right] \} $

приклад 2

Завдання: Покажіть, що рівняння одномірної хвилі задовольняє хвильовому рівнянню:

\ [\ Frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial x ^ 2} = \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial t ^ 2} \ left ( 2.1 \ right), \]

якщо $ \ omega = kv $.

Рішення: Запишемо рівняння одномірної хвилі:

\ [S = A {\ cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \} \ left (2.2 \ right). \]

Знайдемо приватну похідну $ \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial x ^ 2} $:

\ [\ Frac {\ partial s} {\ partial x} = Ak {{\ rm sin \} \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \} ;; \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial x ^ 2} = - A {k ^ 2 \ cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \ \ left (2.3 \ right). \} \]

Обчислимо $ \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial t ^ 2} $:

\ [\ Frac {\ partial s} {\ partial t} = - A \ omega {{\ rm sin \} \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] ;; \ \} \ frac {{\ partial } ^ 2s} {\ partial t ^ 2} = - A {\ omega} ^ 2 {cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \} \ \ left (2.4 \ right). \]

Знайдемо твір $ \ frac {1} {v} \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial t ^ 2}, $ використовуючи (2.4) і умову задачі $ \ omega = kv $:

\ [\ Frac {1} {v} \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial t ^ 2} = - \ frac {1} {v} A {\ omega} ^ 2 {cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] = \} - \ frac {1} {v} A {(kv)} ^ 2 {cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] = - A {k ^ 2cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \ \ left (2.5 \ right). \} \} \]

Порівнюємо праві частини рівнянь (2.3) і (2.5):

\ [\ Frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial x ^ 2} = - A {k ^ 2 \ cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \. \} \] \ [\ frac {1} {v} \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial t ^ 2} = - A {k ^ 2cos \ left [\ omega t-kx + \ varphi \ right] \. \} \]

Отримуємо, якщо праві частини рівні, то рівні і ліві:

\ [\ Frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial x ^ 2} = \ frac {1} {v} \ frac {{\ partial} ^ 2s} {\ partial t ^ 2}. \]

Читати далі: приклади поздовжніх хвиль .

Яке зміщення частинки середовища, яка знаходиться на відстані $ x_1 $ від джерела хвиль в момент часу $ t_1 $ від початку коливань?