Главная › Новости

Центральные и вписанные углы в задании 6

Опубликовано: 30.09.2018

Сегодня мы рассмотрим очередной тип задач 6 — на этот раз с окружностью. Многие ученики не любят их и считают сложными. И совершенно напрасно, поскольку такие задачи решаются элементарно, если знать некоторые теоремы. Или не решаются вообще, если их не знать.

Прежде чем говорить об основных свойствах, позвольте напомнить определение:

Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на самой окружности, а стороны высекают на этой окружности хорду.

Центральный угол — это любой угол с вершиной в центре окружности. Его стороны тоже пересекают эту окружность и высекают на ней хорду.

Итак, понятия вписанного и центрального угла неразрывно связаны с окружностью и хордами внутри нее. А теперь — основное утверждение:

Теорема. Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.

Несмотря на простоту утверждения, существует целый класс задач 6, которые решаются с помощью него — и никак иначе.

Задача. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.

Пусть — рассматриваемая хорда, — центр окружности. Дополнительное построение: и — радиусы окружности. Получим:

Рассмотрим треугольник . В нем = = — все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник — равносторонний, и все углы в нем по 60°.

Пусть — вершина вписанного угла. Поскольку углы и опираются на одну и ту же дугу , вписанный угол в 2 раза меньше центрального угла . Имеем:

Задача. Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Введем обозначения:

— хорда окружности; Точка — центр окружности, поэтому угол — центральный; Точка — вершина вписанного угла .

Поскольку мы ищем вписанный угол , обозначим его = . Тогда центральный угол равен + 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:

Вот мы и нашли вписанный угол — он равен 36°.

Окружность — это угол в 360°

Прочитав подзаголовок, знающие читатели, наверное, сейчас скажут: «Фу!» И действительно, сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:

К чему эта картинка? А к тому, что полный оборот — это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет 360 : 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B8.

Точки , и лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника .

Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна . На рисунке эта дуга обозначена . Тогда остальные дуги — и — можно выразить через : дуга = 3; = 5. В сумме эти дуги дают 360 градусов:

Теперь рассмотрим большую дугу , которая не содержит точку . Эта дуга, как и соответствующий центральный угол , равна 5 = 5 · 40 = 200 градусов.

Угол — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол . Значит, угол в 2 раза меньше . Имеем:

Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике .

Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника

Эту теорему многие забывают. А зря, ведь некоторые задачи B8 без нее вообще не решаются. Точнее, решаются, но с таким объемом вычислений, что вы скорее уснете, чем дойдете до ответа.

Теорема. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Что следует из этой теоремы?

Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы; Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B8.

В треугольнике провели медиану . Угол равен 90°, а угол — 60°. Найдите угол .

Поскольку угол равен 90°, треугольник — прямоугольный. Получается, что — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники и — равнобедренные.

В частности, рассмотрим треугольник . В нем = . Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. « Задача B8: отрезки и углы в треугольниках ». Поэтому искомый угол = .

Итак, осталось выяснить, чему равен угол . Для этого снова обратимся к исходному треугольнику . Обозначим угол = . Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:

Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол равен 60 градусов. Отсюда угол равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.

Смотрите также:

Задача B8: отрезки и углы в треугольниках Работа с формулами в задаче B12 Сложение и вычитание десятичных дробей Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 3 (без логарифмов) C2: расстояние между двумя прямыми Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант